Question

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值．类比椭圆，写出双曲线C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的类似性质，并加以证明．

Answer 1

分析：类比椭圆的性质可得：若M、N是双曲线C′上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值

b2

a2

．设P（m，n）是双曲线C′上的任意一点，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是双曲线上的关于原点对称的两个点．利用

m2

a2

-

n2

b2

=1，

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1，及斜率计算公式即可证明．

解答：解：若M、N是双曲线C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值

b2

a2

．证明如下：
设P（m，n）是双曲线C′上的任意一点，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是双曲线上的关于原点对称的两个点．
则

m2

a2

-

n2

b2

=1，

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1，
∴n2-

y

2 0

=b2(

m2

a2

-1)-b2(

x 2 0

a2

-1)=

b2

a2

(m2-

x

2 0

)．
∴k_PM•k_PN=

n-y0

m-x0

•

n+y0

m+x0

=

n2- y 2 0

m2- x 2 0

=

b2

a2

为定值．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、斜率计算公式，属于中档题．