Question

某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级，等级系数X依次为A，B，C，D，E．现从该种食品中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	A	B	C	D	E
频率	a	0.2	0.45	b	c

（Ⅰ）在所抽取的20件样品中，等级系数为D的恰有3件，等级系数为E的恰有2件，求a，b，c的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为D的3件样品记为x₁，x₂，x₃，等级系数为E的2件样品记为y₁，y₂，现从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂这5件样品中一次性任取两件（假定每件样品被取出的可能性相同），试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同一等级的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据频率=分别求出b与c的值，然后根据所求频率和为1，可求出a的值；
（II）列出从样品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取两件，所有可能的结果，然后找出从样品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取两件，其等级系数相等的结果，根据古典概型的概率公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．
因为抽取的20件样品中，等级系数为D的恰有3件，所以．
等级系数为E的恰有2件，所以．
从而a=0.35-b-c=0.1．
所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．-----------------------------------------（6分）
（Ⅱ）从样品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取两件，所有可能的结果为：（x₁，x₂），（x₁，x₃），（x₁，y₁），（x₁，y₂），（x₂，x₃），（x₂，y₁）（x₃，y₂）
，（x₂，y₂），（x₃，y₁），，（y₁，y₂），共计10个
设事件A表示“从样品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取两件，其等级系数相等”，
则A包含的基本事件为：（x₁，x₂），（x₁，x₃），（x₂，x₃），（y₁，y₂），共4个．
故所求的概率．---------------------------------------（12分）
点评：本题主要考查了频率分布表，以及利用列举法计算基本事件及其发生的概率，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．