Question

19．命题P：存在实数x，x²-2cx+c＜0；命题Q：|x-1|-x+2c＞0对任意x∈R恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围．

Answer 1

分析 关于命题P：存在实数x，x²-2cx+c＜0，即存在实数x，使得（x-c）²＜c²-c即可，只需c²-c＞0，解得c范围．命题Q：|x-1|-x+2c＞0，化为2c＞x-|x-1|，令f（x）=x-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥1}\\{2x-1，x＜1}\end{array}\right.$，可得f（x）≤1．即可得出c的取值范围．若P或Q为真，P且Q为假，P与Q必然一真一假．

解答 解：关于命题P：存在实数x，x²-2cx+c＜0，
即存在实数x，使得（x-c）²＜c²-c即可，
∴只需c²-c＞0，解得：c＜0或c＞1，
∴P真：c＜0或c＞1；
命题Q：|x-1|-x+2c＞0，
化为2c＞x-|x-1|，
令f（x）=x-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥1}\\{2x-1，x＜1}\end{array}\right.$，
∴f（x）≤1．
∴2c＞1，解得c$＞\frac{1}{2}$．
若P或Q为真，P且Q为假，
∴P与Q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c＜0或c＞1}\\{c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤c≤1}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得c＜0或$\frac{1}{2}＞c≤1$．
因此c的取值范围是$（-∞，0）∪（\frac{1}{2}，1]$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．