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已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a、b∈R)在点x=-1处取得极大值为2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1、x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求实数c的最小值.
(1)f(x)=x3-3x(2)4
(1)f′(x)=3ax2+2bx-3.
由题意,得解得
所以f(x)=x3-3x.
(2)令f′(x)=0,即3x2-3=0,得x=±1.
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
 

 

 

 
f(x)
-2

极大值

极小值

2
因为f(-1)=2,f(1)=-2,所以当x∈[-2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=-2.
则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1、x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,所以c≥4.所以c的最小值为4.
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