Question

已知函数f（x）=，对于下列命题：
①函数f（x）是奇函数；
②直线x=是函数f（x）图象的对称轴；
③对任意x∈R，f（x）满足|f（x）|＜1；
④对任意x∈（-1，0），函数f（x）的导数满足f′（x）＜0．
其中正确命题为________（写出命题序号即可）．

Answer 1

②③
分析：①根据函数的解析式求得函数的定义域，根据奇函数的定义，验证f（-x）=-f（x），可知该命题的正误；
②根据轴对称图形的定义，在函数f（x）图象上任取点P（x，y），求出点P关于直线x=的对称点是P′（1-x，y），验证点P′在函数的图象上即可；
③根据二次函数的最值和不等式的基本性质，可以求出x²+1≥1；x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，注意等号成立的条件，从而求得的范围，根据正弦函数的有界性，从而求得结论正确；
④对函数求导，求出f′（）＜0，=2π＞0，从而可知?x₀∈（-1，0），函数f（x）的导数满足f′（x₀）=0．可知该命题错误．
解答：①函数的定义域为R，f（-x）==≠-f（x）
∴函数f（x）不是奇函数故①错；
②在函数f（x）图象上任取点P（x，y），则点P关于直线x=的对称点是P′（1-x，y）
而f（1-x）===y
∴直线x=是函数f（x）图象的对称轴；故②正确；
③∵x²+1≥1，当x=0时等号成立；x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，当x=1时等号成立，
∴（x²+1）[（x-1）²+1]＞1，∴0＜＜1，
而|sinπx|≤1，∴＜1，即|f（x）|＜1；故③正确；
④f′（x）=
f′（）=＜0，
而=2π＞0，
?x₀∈（-1，0），函数f（x）的导数满足f′（x₀）=0．故④错
故正确命题为②③
故答案为：②③．
点评：本题考查函数的奇偶性的定义和对称性以及函数的值域的求法，导数的除法运算法则等知识，综合性强，考查灵活应用知识分析解决问题的能力，和运算能力，其中命题④计算量大，增加了试题的难度．属中档题．