Question

已知函数f（x）=-x²+（2a-1）x+3在[1，2]上的值恒为正，则a的取值范围是（　　）

• A、-

  1

  2

  ＜a＜

  3

  4

• B、a＜-

  1

  2

• C、a＜-

  1

  2

  或a＞

  3

  4

• D、a＞

  3

  4

Answer 1

分析：先根据函数f（x）=-x²+（2a-1）x+3在[1，2]上的值恒为正，得出-x²+（2a-1）x+3＞0在[1，2]上恒成立，将原问题转化成恒成立问题解决，只须2a-1＞x-

3

x

的最大值即可，从而求得a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=-x²+（2a-1）x+3在[1，2]上的值恒为正，
∴-x²+（2a-1）x+3＞0在[1，2]上恒成立，
即2a-1＞x-

3

x

在[1，2]上恒成立，
∴2a-1＞x-

3

x

的最大值即可，
∵x-

3

x

在[1，2]上是增函数，
∴x-

3

x

在[1，2]上的最大值是：

1

2

，
∴2a-1＞

1

2

，
∴a＞

3

4

．
则a的取值范围是a＞

3

4

故选D．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是化归与转化思想．属于基础题．