Question

设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，是否存在直线l，使l过点（0.1）并与曲线E交于P、Q两点，且满足

OP

•

OQ

=-2？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
注：三角形的重心的概念和性质如下：设△ABC的重心，且有

GD

GC

=

GE

GA

=

GF

GB

=

1

2

．

Answer 1

分析：可设C点的坐标为（x，y），由重心坐标的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y），再由外心M在AB的垂直平分线上，而AB所在直线为y=0，外心就落在y轴上，横坐标为零，则可设外心坐标M（0，b），由GM∥AB可得M（0，

1

3

y），由外心定义，CM=AM=BM，AM已经等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可，代入距离公式可求点C的轨迹方程．
（II）假设存在直线l满足条件，设直线l方程为y=kx+1，，联立直线与椭圆的方程，由

OP

•

OQ

=-2，根据方程的根与系数的关系代入可求K

解答：解：可设C点的坐标为（x，y）．
由重心坐标的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y）
外心M在AB的垂直平分线上，显然AB所在直线为y=0，外心就落在y轴上，横坐标为零；
设外心坐标M（0，b），由GM∥AB可知

1

3

y=b
那么就确定了外心坐标M（0，

1

3

y）
由外心定义，CM=AM=BM，AM已经等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可
不妨CM=AM，
∴x2+(y-

1

3

y)2=(-1-0)2+(

1

3

y)2
整理可得点C的轨迹方程为 x²+

y2

3

=1(xy≠0)
（II）假设存在直线l满足条件，设直线l方程为y=kx+1，
由

y=kx+1 x2+ y2 3 =1

消去x，得（3+k²）x²+2kx-2=0    
∵直线l与曲线E并于P、Q两点，∴△=4k²+8（2+k²）＞0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2=- 2k 3+k2 x1x2=- 2 3+k2 .

∵

OP

•

OQ

=-2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-2，即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=-2．
（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+3=0，（1+k²）(-

2

3+k2

)+k(-

2k

3+k2

)+3=0
解得k²=7，∴k=±

7

故存在直线l：y=±

7

+1，使得

OP

•

OQ

=-2，

点评：本题主要考查了三角形的外心与重心性质的应用，点的轨迹方程的求解，直线与椭圆相交关系中的方程的根与系数关系的应用及一定的推理与运算的能力的考查，具有一定的综合性．