Question

设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A(-1,0)、B(1，0),且=λ (λ∈R且λ≠0).

(1)求点C的轨迹E的方程；

(2)是否存在直线l，使l过点(0，1)并与曲线E交于P、Q两点，且满足·=-2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(1)设C(x,y)，其中xy≠0.由=λ(λ∈R且λ≠0),知MG∥AB.设G(a,b),则M(0，b),∴x=3a,y=3b①.

∵M是不等边△ABC的外心，∴|MA|=|MC|,∴=②,

    将①代入②化简整理得x²+=1.所以点C的轨迹E的方程为x²+=1(xy≠0).

(2)假设存在直线l满足条件，设直线l方程为y=kx+1,

    由消去y得(3+k²)x²+2kx-2=0.

∵直线l与曲线E交于P、Q两点，∴Δ=4k²+8(3+k²)＞0.

    设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，

    则

∵·=-2,∴x₁x₂+y₁y₂=-2,

    即x₁x₂+(kx₁+1)(kx₂+1)=-2,

(1+k²)x₁x₂+k(x₁+x₂)+3=0,(1+k²)(-)+k(-)+3=0,解得k²=7,k=±.

    故存在直线l:y=±+1,使得·=-2.