Question

已知f（x）=

πx(x≥0) ex(x＜0)

，若任意x∈[1-2a，2a-1]满足不等式f（a（x+1）-x）≥[f（x）]^a恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：f（a（x+1）-x）≥[f（x）]^a恒成立，亦即f（a（x+1）-x）≥f（ax）恒成立，由f（x）的单调性可去掉符号“f”，分离参数a后化为函数最值即可，注意区间端点的大小关系．

解答： 解：∵f（x）=

πx(x≥0) ex(x＜0)

，
∴[f（x）]^a=f（ax），
∵f（a（x+1）-x）≥[f（x）]^a恒成立，
又f（x）单调递增，
∴a（x+1）-x≥ax，即x≤a在[1-2a，2a-1]上恒成立，
∴2a-1≤a，解得a≤1；
由1-2a＜2a-1，得a＞

1

2

；
∴

1

2

＜a≤1，
故答案为：

1

2

＜a≤1．

点评：该题考查函数恒成立、函数的性质，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力．