Question

若不共线的三个向量

a

，

b

，

c

两两所成的角相等，且|

a

|=1，|

b

|=2，|

c

|=4，则|

a

+

b

+

c

|=

 

．

Answer 1

考点：向量的模

专题：平面向量及应用

分析：不共线的三个向量

a

，

b

，

c

两两所成的角相等，可知：夹角为0或

2π

3

．分别利用数量积定义和性质|

a

+

b

+

c

|2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

a

•

c

+2

b

•

c

即可得出．

解答： 解：不共线的三个向量

a

，

b

，

c

两两所成的角相等，可知：夹角为0或

2π

3

．
当夹角为0时，

a

•

b

=|

a

| |

b

|=2，同理

a

•

c

=4，

b

•

c

=8．
∴|

a

+

b

+

c

|2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

a

•

c

+2

b

•

c

=1+4+16+2×2+2×4+2×8=49，
∴|

a

+

b

+

c

|=7．
夹角为

2π

3

时，

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos

2π

3

=-1，同理

a

•

c

=-2，

b

•

c

=-4．
∴|

a

+

b

+

c

|2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

a

•

c

+2

b

•

c

=1+4+16+2×（-1）+2×（-2）+2×（-4）=7，
∴|

a

+

b

+

c

|=

7

．
故答案为：7或

7

．

点评：本题考查了向量的夹角、数量积的定义和性质，属于中档题．