Question

已知实数x，y满足x²+y²-6x-8y+23＜0（x＞3），则z=x-y的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：综合题,直线与圆

分析：x²+y²-6x-8y+23＜0（x＞3），可化为（x-3）²+（y-4）²＜2，设x=3+

2

cosα（α∈（-

π

2

，

π

2

）），y=4+

2

sinα，则z=x-y=-1+2cos（α+

π

4

），利用三角函数的性质，即可得出结论．

解答： 解：x²+y²-6x-8y+23＜0（x＞3），可化为（x-3）²+（y-4）²＜2，为圆心（3，4），半径为

2

，且在直线x=3右边的圆的内部．
设x=3+

2

cosα（α∈（-

π

2

，

π

2

）），y=4+

2

sinα，则
z=x-y=-1+2cos（α+

π

4

），
∵α∈（-

π

2

，

π

2

），
∴α+

π

4

∈（-

π

4

，

3π

4

），
∴cos（α+

π

4

）∈（-

2

2

，1），
∴z∈（-1-

2

，1）．
故答案为：（-1-

2

，1）．

点评：本题考查圆的方程，考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，属于中等题．