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已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,又PD⊥底ABCD,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明:DN平面PMB;
(2)证明:平面PMB⊥平面PAD;
(3)求点A到平面PMB的距离.
(1)证明:取PB中点Q,连接MQ、NQ,
因为M、N分别是棱AD、PC中点,
所以QNBCMD,且QN=MD,于是DNMQ.
DNMQ
MQ⊆平面PMB
DN?平面PMB
⇒DN平面PMB.

(2)
PD⊥平面ABCD
MB⊆平面ABCD
⇒PD⊥MB
又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,且M为AD中点,
所以MB⊥AD.
又AD∩PD=D,
所以MB⊥平面PAD.
MB⊥平面PAD
MB⊆平面PMB
⇒平面PMB⊥平面PAD.

(3)因为M是AD中点,所以点A与D到平面PMB等距离.
过点D作DH⊥PM于H,由(2)平面PMB⊥平面PAD,所以DH⊥平面PMB.
故DH是点D到平面PMB的距离.DH=
a
2
×a
5
2
a
=
5
5
a

∴点A到平面PMB的距离为
5
5
a

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心.
(1)证明:PQ平面DD1C1C;
(2)求线段PQ的长;
(3)求PQ与平面AA1D1D所成的角.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正(主)视图和侧(左)视图(单位:cm).
(1)画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(3)在所给直观图中连接BC',证明:BC'平面EFG.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E、F分别为PA、BC的中点.
求证:EF平面PCD.

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如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,cos∠CAB=
3
5
,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1
(2)求证:AC1平面CDB1
(3)求三棱锥A1-B1CD的体积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,O为AC和BD的交点,过A、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-AC1Dl,且这个几何体的体积为.
(1)求证:OD1平面BA1C1
(2)求棱A1A的长:
(3)求点D1到平面BA1C1的距离.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DCAB,∠BAD=90°,且AB=2AD=2DC=2PD=4(单位:cm),E为PA的中点.
(1)证明:DE平面PBC;
(2)证明:DE⊥平面PAB.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,BB1的中点.
(1)求证:平面A1BC1平面ACD1
(2)求异面直线A1F与D1E所成的角的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC、PC的中点.
(1)证明:AE⊥PD;
(2)设AB=2,若H为线段PD上的动点,EH与平面PAD所成的最大角的正切值为
6
2
,求此时异面直线AE和CH所成的角.

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