Question

在数列 {a_n} 与 {b_n} 中，数列 {a_n} 的前n项和S_n满足 S_n=n²+2n，数列 {b_n} 的前n项和T_n满足 3T_n=nb_n+1，且b₁=1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列 {a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅲ）设 c_n=

bn(an-1)

n+1

cos

2nπ

3

，求数列 {c_n} 的前n项和R_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵S_n=n²+2n，…①
∴S_n-1=（n-1）²+2（n-1），n≥2． …②
①-②得 a_n=2n+1，n≥2．   …2分
∵a₁=S₁=3 满足上式，
∴a_n=2n+1，n∈N^*．   …4分
（Ⅱ）∵3T_n=nb_n+1，…③
∴3T_n-1=（n-1）b_n，n≥2． …④
③-④得 3b_n=nb_n+1-（n-1）b_n，即 

bn+1

bn

=

n+2

n

，n≥2．  …5分
∴

b3

b2

=

4

2

，

b4

b3

=

5

3

，

b5

b4

=

6

4

，…，

bn

bn-1

=

n+1

n-1

．
将以上各式连乘得

bn

b2

=

n(n+1)

6

，n≥2．  …7分
∵b₁=1，∴b₂=3．
∴bn=

n(n+1)

2

，n≥2． …8分
∵b₁=1满足上式，
∴bn=

n(n+1)

2

，n∈N^*． …9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得 cn=n2cos

2nπ

3

，…10分
（1）当 n=3k （k∈N^*）时，
R_n=（c₁+c₂+c₃）+（c₄+c₅+c₆）+…+（c_3k-2+c_3k-1+c_3k）
=（-

12

2

-

22

2

+3²）+（-

42

2

-

52

2

+6²）+…+[-

(3k-2)2

2

-

(3k-1)2

2

+（3k）²]
=

13

2

+

31

2

+…+

18k-5

2

=

9k2+4k

2

=

3n2+4n

6

．
（2）当 n=3k-1（k∈N^*）时，
R_n=

9k2+4k

2

-c_3k=

-9k2+4k

2

=

-3n2-2n+1

6

．
（3）当 n=3k-2（k∈N^*）时，
R_n=

-9k2+4k

2

-c_3k-1=

-2k+1

2

=

-2n-1

6

．
综上，R_n=

3n2+4n 6 ，n=3k -3n2-2n+1 6 ，n=3k-1 -2n-1 6 ，n=3k-2

（k∈N^*） …14分．