Question

已知函数F(x)=

3x+1

2x-1

，(x≠

1

2

)．
（Ⅰ）证明：F（x）+F（1-x）=3，并求F(

1

2009

)+F(

2

2009

)+…+F(

2008

2009

)；
（Ⅱ）．已知等差数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n，且

Sn

Tn

=F(n)．当m＞n时，比较

am

bm

与

an

bn

的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，已知a₁=2，数列{b_n}的公差为d=2．探究在数列{a_n}与{b_n}中是否有相等的项，若有，求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{c_n}的通项公式；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）关于f（x）+f（1-x）=3的证明，只需代入解析式验证即可．求值时，我们利用f（x）+f（1-x）=3即和为1的两个自变量对应的函数值的和为3，再看共有多少对即可，
（Ⅱ）考查等差数列前n项和与第n项的关系．由等差数列第n项的比等于前2n-1项和的比可得，然后在比较大小．
（Ⅲ）假若存在数列{a_n}中的第n项与数列{b_n}中的第k项相等，即an=bk?3n-1=2k-

3

2

?n=

4k-1

6

，进一步分析可得n不是整数，即可得结论．

解答：解：（Ⅰ）因为F(x)+F(1-x)=

3x+1

2x-1

+

3(1-x)+1

2(1-x)-1

=3（2分）
所以设S=F(

1

2009

)+F(

2

2009

)++F(

2008

2009

)；（1）
S=F(

2008

2009

)+F(

2007

2009

)++F(

1

2009

)（2）
（1）+（2）得：2S={F(

1

2009

)+F(

2008

2009

)}+{F(

2

2009

)+F(

2007

2009

)}++{F(

2008

2009

)+F(

1

2009

)}
=3×2008=6024，
所以S=3012（5分）
（Ⅱ）因为S2n-1=

(a1+a2n-1)(2n-1)

2

=

(an+an)(2n-1)

2

=(2n-1)an
所以an=

S2n-1

2n-1

；同理bn=

T2n-1

2n-1

．（7分）
所以

an

bn

=

S2n-1

T2n-1

；

am

bm

=

S2n-1

T2n-1

所以当m＞n≥1时，

am

bm

-

an

bn

=

S2m-1

T2m-1

-

S2n-1

T2n-1

=

3(2m-1)+1

2(2m-1)-1

-

3(2n-1)+1

2(2n-1)-1

=

6m-2

4m-3

-

6n-2

4n-3

=

(6m-2)(4n-3)-(6n-2)(4m-3)

(4m-3)(4n-3)

=

10(n-m)

(4m-3)(4n-3)

＜0，∴

am

bm

＜

an

bn

（10分）

（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，当a₁=2，d=2时

Sn

Tn

=

2n+ n(n-1)d1 2

nb1+ n(n-1)•2 2

=

d1n-d1+4

2n-2+2b1

=

3n+1

2n-1

所以{-2+2b₁=-1
d1=3
d₁=3
所以an=2+(n-1)×3=3n-1；bn=

1

2

+(n-1)×2=2n-

3

2

（12分）
假若存在数列{a_n}中的第n项与数列{b_n}中的第k项相等，
即an=bk?3n-1=2k-

3

2

?n=

4k-1

6

因为4k-1为奇数，6为偶数，所以n=

4k-1

6

不是整数，
所以在数列{a_n}与{b_n}中没有相等的项．（14分）

点评：第一问：主要查清几对即可．
第二问：两个等差数列前n项的比值与前2n-1项和的比值相等这一规律最好记住，在解决填空与选择题时可以加快速度．
第三问：要注意通项相等和第n项相等的区别．