Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足

sinB

sinA

=

1-cosB

cosA

．
（1）求∠A的大小；
（2）若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求平面四边形OACB面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由

sinB

sinA

=

1-cosB

cosA

，化为sinBcosA=sinA-sinAcosB，即sinC=sinA，又b=c，可得△ABC是等边三角形，即可得出A．
（2）设该三角形的边长为a，则S_OACB=

1

2

×1×2sinθ+

3

4

a2，利用余弦定理、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出．

解答： 解：（1）由

sinB

sinA

=

1-cosB

cosA

，化为sinBcosA=sinA-sinAcosB，
∴sin（A+B）=sinA，
∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．
∴C=A，又b=c，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=

π

3

．
（2）设该三角形的边长为a，a²=1²+2²-2×2×cosθ．
则S_OACB=

1

2

×1×2sinθ+

3

4

a2
=sinθ+

3

4

(12+22-2×2cosθ)
=2sin(θ-

π

3

)+

5 3

4

，
当θ=

5π

6

时，S_OACB取得最大值

8+5 3

4

．

点评：本题考查了两角和差的正弦公式及其单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．