Question

四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积为从而只要算出四棱锥的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，
∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，
∠PAB=60°.                
而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,
.                                                                                       
（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.
作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，
是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.
设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，
                                                                     
在
故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.