Question

已知△ABC的外接圆的半径为

2

，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又向量

m

=(sinA-sinC，b-a)，

n

=(sinA+sinC，

2

4

sinB)，且

m

⊥

n

，
（I）求角C；
（II）求三角形ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析：（I）由

m

⊥

n

，推出

m

•

n

=0，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C；
（II）利用（I）中c²=a²+b²-ab，应用正弦定理，和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

⊥

n

?

m

•

n

=0
∴(sinA-sinC)(sinA+sinC)+

2

4

(b-a)sinB=0
且2R=2

2

，由正弦定理得：(

a

2R

)2-(

c

2R

)2+

2

4

b

2R

(b-a)=0
化简得：c²=a²+b²-ab
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC∴2cosC=1?cosC=

1

2

∵0＜C＜π，∴C=

π

3

（Ⅱ）∵a²+b²-ab=c²=（2RsinC）=6
∴6=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b时取“=”）
S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

2

3

所以，Smax=

3

2

3

，此时，△ABC为正三角形

点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．