Question

已知△ABC的外接圆半径R为6，面积为S，a、b、c分别是角A、B、C的对边设S=a2-(b-c)2，sinB+sinC=

4

3

．
（I）求sinA的值；
（II）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的面积公式，由b，c及sinA表示出三角形的面积S，与已知的S相等，利用完全平方公式化简后，由bc不为0，等号两边同时除以bc，得到sinA和cosA的关系式，将此等式两边平方后，再利用同角三角函数间的基本关系化为关于sinA的方程，根据sinA不为0，求出方程的解即可求出sinA的值；
（II）根据正弦定理化简sinB+sinC=

4

3

，把R的值代入即可得到b+c的值，然后把第一问求出的sinA的值代入S=

1

2

bcsinA中，根据基本不等式bc≤(

b+c

2

)2得到当且仅当b=c时，面积的最大值，但是由b=c，根据正弦定理得到sinB=sinC，再由sinB+sinC=

4

3

可得sinB与sinC的值，进而利用诱导公式求出sinA的值不等于第一问求出的sinA的值，矛盾，从而得到面积不能达到此时的最大值，由R和sinA的值，利用正弦定理求出a的值，再由b+c的值，利用余弦定理表示出a²，变形后，把a与b+c的值代入求出bc的值，把sinA和求出bc的值代入S=

1

2

bcsinA，即可求出面积的最大值．

解答：解：（I）由S=

1

2

bcsinA，又S=a²-（b-c）²，
可得：

1

2

bcsinA=a²-（b²-2bc+c²）=2bc-（b²+c²-a²）=2bc-2bccosA，又bc≠0，
变形得：

1

4

=

1-cosA

sinA

，即cosA=1-

1

4

sinA，
两边平方得：cos²A=（1-

1

4

sinA）²，又sin²A+cos²A=1，
可得1-sin²A=1-

1

2

sinA+

1

16

sin²A，即

17

16

sin²A-

1

2

sinA=0，
又sinA≠0，
∴sinA=

8

17

；
（II）由sinB+sinC=

4

3

，
根据正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

=2R，可得

b

2R

+

c

2R

=

4

3

，又∵R=6，∴b+c=16，
∴S=

1

2

bcsinA=

4

17

bc≤

4

17

(

b+c

2

)2=

256

17

，当且仅当b=c=8时，Smax=

256

17

，
此时sinB=sinC=

2

3

∴sinA=sin(B+C)=

4 5

9

(≠

8

17

)与第一问矛盾，
由a=2RsinA=2×6×

8

17

=

96

17

，且b+c=16，
根据余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：bc=

1012

17

，
此时S=

1

2

bcsinA=

4048

289

，
则△ABC面积的最大值为

4048

289

．

点评：本题考查了三角函数的恒等变形，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．本题的第二问在利用基本不等式得到b=c时，面积达到最大，经过验证发现，b=c是不成立的，学生做题时应注意这点，不要错误认为此时面积最大．