Question

已知某类学习任务的掌握程度y与学习时间t（单位时间）之间的关系为y=f（t）=

1

1+a•2-bt

•100%，这里我们称这一函数关系为“学习曲线”．已知这类学习任务中的某项任务有如下两组数据：t=4，y=50%；t=8，y=80%．
（Ⅰ）试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系式f（t）；
（Ⅱ）若定义在区间[x₁，x₂]上的平均学习效率为η=

y2-y1

x2-x1

，问这项学习任务从哪一刻开始的2个单位时间内平均学习效率最高．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得

1 1+a•2-4b =0.5 1 1+a•2-8b =0.8

，由此能求出“学习曲线”的关系式．
（Ⅱ）设从第x个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为η，令u=2^-0.5x，能推导出在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

1 1+a•2-4b =0.5 1 1+a•2-8b =0.8

，
整理得

a•2-4b=1 a•2-4b= 1 4

，解得a=4，b=0.5，
所以“学习曲线”的关系式为y=

1

1+4•2-0.5t

•100%．
（Ⅱ）设从第x个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为η，则η=

1 1+4•2-0.5(x+2) - 1 1+4•2-0.5x

(x+2)-x

=

2-0.5x

(1+2•2-0.5x)(1+4•2-0.5x)

令u=2^-0.5x，则η=

u

(1+2u)(1+4u)

=

1

1 u +8u+6

，
显然当

1

u

=8u，即u=

2

4

时，η最大，
将u=

2

4

代入u=2^-0.5x，得x=3，
所以，在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高．

点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．