Question

已知某类学习任务的掌握程度y与学习时间t（单位时间）之间的关系为y=f（t）=，这里我们称这一函数关系为“学习曲线”．已知这类学习任务中的某项任务有如下两组数据：t=4，y=50%；t=8，y=80%．
（Ⅰ）试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系式f（t）；
（Ⅱ）若定义在区间[x₁，x₂]上的平均学习效率为，问这项学习任务从哪一刻开始的2个单位时间内平均学习效率最高．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得，
整理得，解得a=4，b=0.5，
所以“学习曲线”的关系式为．
（Ⅱ）设从第x个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为η，则
令u=2^-0.5x，则，
显然当，即时，η最大，
将代入u=2^-0.5x，得x=3，
所以，在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高．
分析：（Ⅰ）由题意得，由此能求出“学习曲线”的关系式．
（Ⅱ）设从第x个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为η，令u=2^-0.5x，能推导出在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高．
点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．