Question

（2013•普陀区二模）若a∈R，则“关于x的方程x²+ax+1=0无实根”是“z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（　　）

A．充分非必要条件．

B．必要非充分条件．

C．充要条件．

D．既非充分又非必要条件．

Answer 1

分析：一方面由a∈R，且“关于x的方程x²+ax+1=0无实根”，得到△=a²-4＜0，解得a的取值范围，即可判断出“z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；
另一方面，由“a∈R，z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得

2a-1＞0 a-1＜-0

，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可．

解答：解：①∵a∈R，且“关于x的方程x²+ax+1=0无实根”，
∴△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2．
∴-3＜2a-1＜3，-3＜a-1＜1，
因此z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；
②若“a∈R，z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，
则

2a-1＞0 a-1＜0

，解得

1

2

＜a＜1．
∴△＜0，
∴关于x的方程x²+ax+1=0无实根正确．
综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x²+ax+1=0无实根”是“z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件．
故选B．

点评：熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键．