Question

如图1-7-9所示,从地面垂直发射质量为m的物体,计算物体从A点飞到B点的过程中,地球引力所做的功.若要物体飞离地球引力的范围,物体的初速度v₀应为多少?

图1-7-9

Answer 1

思路分析:根据万有引力定律求出物体在发射飞行过程中所受引力的表达式,然后对引力进行积分.

解:由万有引力定律,得地球对物体的引力为F=K·.

其中r为地心到物体的距离,M为地球的质量,m为物体的质量,K为引力常数.

如果物体在地面上,R为地球的半径,这时有mg=K·,

∴K=.

故F=mg·()².

因为地球对物体的引力F是随距离r而改变的,所以物体从点A(r=R₁)飞到点B(r=R₂)时,地球引力对物体所做的功为

W=-=mgR²().

“-”表示物体所受的引力与物体飞出的方向相反,引力作负功.

利用这个关系就可以计算出物体从地面飞出地球引力范围时,地球引力对物体所做的功

=-mgR,因此物体要脱离地球引力的范围,必须克服地球引力,也就是说在发射物体时,给予物体的动能至少等于地球引力所做的功,

即mv₀²=mgR.

∴v₀=.以g=9.18 m/s²,R≈6.31×10⁶ m代入,

得v₀≈11.2(km/s).

故v₀=11.2 km/s就是物体从地面飞离地球引力范围所必须具有的最小初速度,通常称为第二宇宙速度.