Question

如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E、F分别为边AB、AD的中点，现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A-BCDE．

（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若平面ADE⊥平面BCDE，求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取线段AC的中点M，连结MF，MB．推出MF∥CD，然后证明BE∥CD，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面ABC．
（Ⅱ）方法（一）：取DE的中点O，连结AO，证明AO⊥平面BCDE．过O作OG⊥CD交CD于点G，连结AG，说明∠AGO就是二面角A-CD-E的平面角，然后解三角形即可．
方法（二）：取CD的中点N，连结ON，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设平面ACD的法向量，平面BCD的法向量利用向量的数量积求解夹角．

解答： 解：（Ⅰ）如图：取线段AC的中点M，连结MF，MB．

因为F为AD边的中点，得MF∥CD，且MF=

1

2

CD，
在折叠前，四边形ABCD为矩形，
因为E为AB边的中点，所以BE∥CD，且BE=

1

2

CD，
所以MF∥BE，且MF=BE，所以四边形BEFM为平行四边形，
故EF∥BM，又EF?平面ABC，BM?平面ABC．
∴EF∥平面ABC．…6分
（Ⅱ）方法（一）：由已知条件可知，△ADE是等腰直角三角形，且AD=AE=2，DE=2

2

．
∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，
∴取DE的中点O，
连结AO，则AO⊥DE，根据两个平面垂直的性质定理，得AO⊥平面BCDE．
过O作OG⊥CD交CD于点G，连结AG，
根据三垂线定理得，AG⊥CD，
所以∠AGO就是二面角A-CD-E的平面角，
易求得OP=1，AO=

2

，AG=

3

，所以cos∠AGO=

3

3

．
即所求二面角 A-CD-E的余弦值为

3

3

…12分
方法（二）：由已知条件，易知DE⊥CE，
所以取CD的中点N，连结ON，则ON⊥DE．又由方法（一）所证，AO⊥平面BCDE，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，

2

)，D(

2

，0，0)，C(-

2

，2

2

，0)．
设平面ACD的法向量为

m

=(x，y，z)，

则

m • AD =0 m • AC =0

⇒

x-z=0 x-2y+z=0

，得

m

=(1，1，1)，
又因为面BCD的法向量为

n

=(0，0，1)，
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

3

3

，
所以二面角A-CD-E的余弦值为

3

3

．…12分．

点评：本题考查空间线面位置关系、二面角等有关知识，考查学生空间想象能力，中等题．