Question

函数f_M（x）的定义域为R，且定义如下：f_M（x）=

1，x∈M 0，x∉M

（其中M为非空数集且M?R），若A，B是实数集R的两个非空真子集且满足A∩B≠∅，则函数F（x）=

fA∪B(x)+fA∩B(x)

fA(x)+fB(x)+1

的值域为（　　）

• A、{0，

  1

  2

  }
• B、{0，1}
• C、{0，

  2

  3

  ，1}
• D、{0，

  1

  2

  ，

  2

  3

  }

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用,集合

分析：对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．

解答： 解：当x∈C_R（A∪B）时，f_A∪B（x）=0，f_A（x）=0，
f_B（x）=0，f_A∩B（x）=0，
∴F（x）=

0+0

0+0+1

=0；
同理得：当x∈A∩B时，F（x）=

1+1

1+1+1

=

2

3

；
当x∈A但x∉A∩B时，F（x）=

1+0

1+0+1

=

1

2

；
当x∈B但x∉A∩B时，F（x）=

1+0

0+1+1

=

1

2

．
故F（x）=

0，x∈CR(A∪B) 2 3 ，x∈A∩B 1 2 ，x∈A但x∉A∩B 1 2 ，x∈B但x∉A∩B

，
值域为{0，

1

2

，

2

3

}．
故选D．

点评：本题主要考查了函数的值域、分段函数，解答关键是对于新定义的函数f_M（x）的正确理解，属于创新型题目．