Question

已知：一动圆过B（1，0）且与圆A：x²+y²+2x+4λ-3=0（0＜λ＜1）相切．
（1）证明动圆圆心P的轨迹是双曲线，并求其方程；
（2）过点B作直线l交双曲线右支于M、N两点，是否存在λ的值，使得△AMN成为以∠ANM为直角的等腰三角形，若存在则求出λ的值，若不存在则说明理由．

Answer 1

分析：（1）当动圆与圆A内切时，|PA|-|PB|=2

1-λ

；当动圆与圆A外切时，|PB|-|PA|=2

1-λ

，利用双曲线的定义可得结论；
（2）若过点B作直线l垂直于x轴，则△AMN不可能成为以∠ANM为直角的等腰三角形；若过点B作直线l不垂直于x轴，则设l的方程与

x2

1-λ

-

y2

λ

=1联立，确定N的坐标，可得直线l的斜率，利用直线l与双曲线右支有两个交点，可得λ的取值范围，利用|AN|=|MN|，即可求得结论．

解答：（1）证明：圆A：x²+y²+2x+4λ-3=0可化为（x+1）²+y²=4（1-λ），圆心为（-1，0），半径为r=2

1-λ

当动圆与圆A内切时，|PA|-|PB|=2

1-λ

；当动圆与圆A外切时，|PB|-|PA|=2

1-λ

；
∴||PB|-|PA||=2

1-λ

，
∵0＜λ＜1，∴2

1-λ

＜2
∴||PB|-|PA||＜|AB|
∴动圆圆心P的轨迹是双曲线，其方程为

x2

1-λ

-

y2

λ

=1；
（2）解：若过点B作直线l垂直于x轴，则△AMN不可能成为以∠ANM为直角的等腰三角形；
若过点B作直线l不垂直于x轴，则设l：y=k（x-1），l与双曲线右支交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点
∵∠ANM为直角，∴N在以AB为直径的圆x²+y²=1上
与

x2

1-λ

-

y2

λ

=1联立，解得x=±

1-λ2

，y=±λ
∵N在右支上，∴N（

1-λ2

，±λ）
不妨设N在x轴下方，∴N（

1-λ2

，-λ）
此时，直线l的斜率为k=

λ

1- 1-λ2

①
|AN|=

( 1-λ2 +1)2+λ2

=

1+λ

+

1-λ

y=k（x-1）代入

x2

1-λ

-

y2

λ

=1，可得[λ-（1-λ）k²]x²+2（1-λ）k²x-（1-λ）（λ+k²）=0②
∵直线l与双曲线右支有两个交点，∴k＞

λ

1-λ

，∴λ-（1-λ）k²＜0③
于是x₁+x₂=-

2(1-λ)k2

λ-(1-λ)k2

，x₁x₂=

-(1-λ)(λ+k2)

λ-(1-λ)k2

将①代入③，可得λ的取值范围为（0，

4

5

）
∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2λ 1-λ

λ+2 1-λ2-2

-2

1-λ

∵|AN|=|MN|，∴

1+λ

+

1-λ

=

2λ 1-λ

λ+2 1-λ2-2

-2

1-λ

∴17λ²-24λ+8=0，∴λ=

12±2 2

17

∵λ∈（0，

4

5

）
∴存在λ=

12-2 2

17

，使得△AMN成为以∠ANM为直角的等腰三角形．

点评：本题考查轨迹方程，考查双曲线的定义，考查直线与曲线的位置关系，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．