Question

有两个各项都是正数的数列{a_n}，{b_n}，若对于任意自然数n都有a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）如果a₁=1，b₁=

2

，记数列{

1

an

}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）根据题设条件，由等差数列的性质得到2bn2=a_n+a_n+1，由等比数列的性质得到an+12 =bn2•bn+12，由此进行化简整理，能够证明数列{b_n}是等差数列．
（2）由a₁=1，b₁=

2

，a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列，利用递推思想分别求出数列{a_n}的前四项，再得用合理猜想和累加法求出数列{a_n}的通项公式，最后利用裂项求和法能求出数列{

1

an

}的前n项和为S_n．

解答：（1）证明：∵a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，
∴2bn2=a_n+a_n+1，①
∵b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列，
∴an+12 =bn2•bn+12，②
∵a_n＞0，b_n＞0，
∴由②得a_n+1=b_n•b_n+1，
∴当n≥2时，an=bn-1•bn ，
∴由①得2bn2=b_n-1•b_n+b_n•b_n+1，
∴2b_n=b_n-1+b_n+1，
∴数列{b_n}是等差数列．
（2）∵a₁=1，b₁=

2

，
a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列，
∴2(

2

)2=1+a2，a22=(

2

)2•b22，
解得a₂=3，b2=

3 2

2

，
∴2(

3 2

2

)2=3+a3，a32=(

3 2

2

)2•b32，
解得a₃=6，b3=2

2

，
∴2(2

2

)2=6+a4，a42=(2

2

)2•b42，
解得a₄=10，b4=

5 2

2

，
由此猜想：a₂-a₁=3-1=2，
a₃-a₂=6-3=3，
a₄-a₃=10-6=4，
…
a_n-a_n-1=n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+3+4+…+n
=

n(n+1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴Sn=2(1-

1

2

)+2(

1

2

-

1

3

)+2(

1

3

-

1

4

)+…+2(

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

点评：本题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要注意递推思想、函数思想的合理运用，要合理猜想，灵活运用累加法和裂项求和法进行解题．