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    已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．
    （Ⅰ）当数列{an}是常数列（各项都相等的数列），且b1=
    1
    2
    时，求数列{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）设{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{an}有无穷多个，而数列{bn}惟一确定；
    （Ⅲ）设an+1=
    2an2+an
    an+1
    (n∈N*)    ，Sn=
    2n
    i=1
    bi    ，求证：2＜
    Sn
    n2
    ＜6．
    分析：（I）设an=a＞0，利用数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），可得bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn-1=2（n-1）．于是bn+1-bn-1=2．可知：数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；
    （II）设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．可得[a1+（n-1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n-1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得
    2d1d2=2d1
    2b1d1+2a1d2-2a1d2=2a1
    2a1b1-b1d1-a1d2=0
    ，解出即可；
    （III）利用an+1=
    2
    a
    2
    n
    +an
    an+1
    ，可得an+1-an=
    2
    a
    2
    n
    +an
    an+1
    -an=
    a
    2
    n
    an+1
    ＞0    ，于是an＜an+1．利用anbn+1+an+1bn=2nan+1＜an+1bn+1+an+1bn，可得2n＜bn+1+bn．又anbn+1=（2n-bn）•an+1＞0，an+1＞0，可得2n-bn＞0．可得Sn∈(2n2，4n2+2n)，进而得出．
    解答：（I）解：设an=a＞0，∵数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），
    ∴bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn-1=2（n-1）．
    ∴bn+1-bn-1=2．
    ∴可知：数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，
    又b1=
    1
    2
    ，b1+b2=2，可得b2=
    3
    2
    ．
    ∴b2n-1=
    1
    2
    +(n-1)•2    =(2n-1)-
    1
    2
    ，b2n=
    3
    2
    +(n-1)•2    =2n-
    1
    2
    ，
    即bn=n-
    1
    2
    （n∈N*）．
    （2）证明：设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，
    则an=a1+（n-1）d，bn=b1+（n-1）d2，
    代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．
    可得[a1+（n-1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n-1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，
    可得
    2d1d2=2d1
    2b1d1+2a1d2-2a1d2=2a1
    2a1b1-b1d1-a1d2=0
    ，解得
    d1=a1
    b1=1
    d2=1
    ，
    可得an=na1，bn=n．
    ∴只有取a1＞0可得数列{an}有无穷多个，而数列{bn}惟一确定；
    （3）证明：∵an+1=
    2
    a
    2
    n
    +an
    an+1
    ，
    ∴an+1-an=
    2
    a
    2
    n
    +an
    an+1
    -an=
    a
    2
    n
    an+1
    ＞0    ，
    ∴an＜an+1．
    ∴anbn+1+an+1bn=2nan+1＜an+1bn+1+an+1bn，可得2n＜bn+1+bn．
    因此Sn=
    2n
    i=1
    bi    =（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n-1+b2n）＞2[1+3+…+（2n-1）]=2n2．
    又anbn+1=（2n-bn）•an+1＞0，an+1＞0，
    ∴2n-bn＞0．
    ∴Sn=
    2n
    i=1
    bi＜2(1+2+…+2n)    =2n（1+2n）=4n2+2n，
    ∴Sn∈(2n2，4n2+2n)，
    ∴2＜
    Sn
    n2
    ＜4+
    2
    n
    ≤6    ．
    点评：熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、放缩法等是解题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知各项均为正数的两个数列{an}，{bn}，由下表给出：
    n 1 2 3 4 5
    an 1 5 3 1 2
    bn 1 6 2 x y
    定义数列{cn}：c1=0，cn=
    bn，cn-1＞an
    cn-1-an+bn，cn-1≤an
    (n=2，3，4，5)    ，并规定数列{an}，{bn}的“并和”为Sab=a1+a2+…+a5+c5，若Sab=15，则y的最小值为
    3
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
    anbn
    an2+bn2
    ，n∈N*．
    （1）求证：当n≥2时，有an≤
    		2
    2
    成立；
    （2）设bn+1=
    bn
    an
    ，n∈N*，求证：数列{(
    bn
    an
    )    2    }    是等差数列；
    （3）设bn+1=anbn，n∈N*，试问{an}可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
    an+bn
    a
    2
    n
    +b
    2
    n
    ，n∈N﹡，
    （Ⅰ）设bn+1=1+
    bn
    an
    ，n∈N﹡，求证：
    （1）
    bn+1
    an+1
    =
    		1+(
    bn
    an
    )    2
    ；
    （2）数列{(
    bn
    an
    )    2    }是等差数列，并求出其公差；
    （Ⅱ）设bn+1=
    		2
    •
    bn
    an
    ，n∈N﹡，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
    an+bn
    		an2+bn2
    ，n∈N*，
    （1）设bn+1=1+
    bn
    an
    ，n∈N*，，求证：数列{(
    bn
    an
    ) 2}    是等差数列；
    （2）设bn+1=
    		2
    •
    bn
    an
    ，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知各项均为正数的两个数列由表下给出：
    定义数列{cn}：c1=0，cn=
    bn，cn-1＞an
    cn-1-an+bn，cn-1≤an
    (n=2，3，…，5)    ，并规定数列    		 n 1 2 3 4 5
    an 1 5 3 1 2
    bn 1 6 2 x y
    { an}，{ bn}的“并和”为 Sab=a1+a2+…+a5+c5．若 Sab=15，
    则y的最小值为
    3
    3
    ．

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