Question

（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=

an+bn

an2+bn2

，n∈N^*，
（1）设b_n+1=1+

bn

an

，n∈N*，，求证：数列{(

bn

an

) 2}是等差数列；
（2）设b_n+1=

2

•

bn

an

，n∈N*，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，a_n+1=

an+bn

an2+bn2

=

1+ bn an

1+( bn an )2

=

bn+1

1+( bn an )2

，从而可得

bn+1

an+1

=

1+( bn an )2

，可证
（2）由基本不等式可得，

(an+bn)2

2

≤ an2+bn2＜ (an+bn)2，由{a_n}是等比数列利用反证法可证明q=

2

a1

=1，进而可求a₁，b₁

解答：解：（1）由题意可知，a_n+1=

an+bn

an2+bn2

=

1+ bn an

1+( bn an )2

=

bn+1

1+( bn an )2

∴

bn+1

an+1

=

1+( bn an )2

从而数列{(

bn

an

)2}是以1为公差的等差数列
（2）∵a_n＞0，b_n＞0
∴

(an+bn)2

2

≤ an2+bn2＜ (an+bn)2
从而1＜an+1=

an+bn

an2+bn2

≤

2

（*）
设等比数列{a_n}的公比为q，由a_n＞0可知q＞0
下证q=1
若q＞1，则a1= 

a2

q

＜a2≤ 

2

，故当n＞logq

2

a1

时，an+1=a1qn＞

2

与（*）矛盾
0＜q＜1，则a1=

a2

q

＞a2＞1，故当n＞ logq

1

a1

时，an+1=a1qn＜1与（*）矛盾
综上可得q=1，a_n=a₁，
所以，1＜a1≤

2

∵bn+1=

2

•

bn

an

=

2

a1

bn
∴数列{b_n}是公比

2

a1

的等比数列
若a1≠

2

，则

2

a1

＞1，于是b₁＜b₂＜b₃
又由a1=

a1+bn

a12+bn2

可得bn=

a1±a12 2-a12

a12-1

∴b₁，b₂，b₃至少有两项相同，矛盾
∴a1=

2

，从而bn=

a1±a12 2-a12

a12-1

=

2

∴a1=b1=

2

点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用．