Question

（2012•江苏）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则

b

a

的取值范围是

[e，7]

．

Answer 1

分析：由题意可求得

1

4

≤

c

a

≤2，而5×

c

a

-3≤

b

a

≤4×

c

a

-1，于是可得

b

a

≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln

b

c

，从而

b

a

≥

b c

ln b c

，设函数f（x）=

x

lnx

（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是

b

a

的最小值，于是问题解决．

解答：解：∵4c-a≥b＞0
∴

c

a

＞

1

4

，
∵5c-3a≤4c-a，
∴

c

a

≤2．
从而

b

a

≤2×4-1=7，特别当

b

a

=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．
又clnb≥a+clnc，
∴0＜a≤cln

b

c

，
从而

b

a

≥

b c

ln b c

，设函数f（x）=

x

lnx

（x＞1），
∵f′（x）=

lnx-1

(lnx)2

，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，
∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．
∴f（x）_min=f（e）=

e

lne

=e．
等号当且仅当

b

c

=e，

b

a

=e成立．代入第一个不等式知：2≤

b

a

=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．
从而

b

a

的取值范围是[e，7]双闭区间．

点评：本题考查不等式的综合应用，得到

b

a

≥

b c

ln b c

，通过构造函数求

b

a

的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．