Question

已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：an+1=

anbn an2+bn2

，n∈N^*．
（1）求证：当n≥2时，有an≤

2

2

成立；
（2）设bn+1=

bn an

，n∈N*，求证：数列{(

bn

an

)2}是等差数列；
（3）设b_n+1=a_nb_n，n∈N*，试问{a_n}可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式，结合条件，可得当n≥2时，有an≤

2

2

成立；
（2）利用等差数列的定义，即可证得结论；
（3）利用反证法证明，对q分类讨论，引出矛盾，从而可得结论．

解答：（1）证明：因为{a_n}和{b_n}各项均为正数，所以anbn≤

an2+bn2

2

，
所以an+1=

anbn an2+bn2

≤

2

2

．
（2）证明：因为an+1=

anbn an2+bn2

，所以

1

an+12

=

an2+bn2

anbn

；
又bn+1=

bn an

，所以bn+12=

bn

an

．
两式相乘可得

bn+12

an+12

=

an2+bn2

anbn

•

bn

an

=1+

bn2

an2

，
所以数列{(

bn

an

)2}是等差数列；
（3）不可能为等比数列．证明：
反证法：若{a_n}为等比数列，设其公比为q，由{a_n}为正项数列，易得q＞0．
接下来我们按下面的情况分类讨论：
①若q＞1，则当n＞1+logq

2

2a1

时，有an=a1qn-1＞

2

2

，矛盾．
②若q=1，不妨设a_n≡a，（其中a为正常数），所以b_n+1=ab_n，所以{b_n}为等比数列．
因为an+1=

anbn an2+bn2

，所以有a=

abn a2+bn2

，化简得abn2-bn+a3=0
对于n∈N^*成立，因此数列{b_n}的各项只能取一个或两个不同的值，
又因为{b_n}为等比数列，所以只能有a=1，
而此时方程abn2-bn+a3=0变为bn2-bn+1=0无实根，所以q≠1．
③若0＜q＜1，则由an+1=

anbn an2+bn2

可得an+2=

an+1bn+1 an+12+bn+12

=

an+1anbn an+12+an2bn2

=

qbn q2+bn2

联立

an+1= anbn an2+bn2 an+2= qbn q2+bn2

可得q=

qbn q2+bn2

•

an2+bn2 anbn

，所以qan(q2+bn2)=an2+bn2．
因为0＜q＜1，所以当n＞1+logq

1

2a1

时，有an=a1qn-1＜

1

2

，所以当n＞1+logq

1

2a1

时，有bn+1=anbn＜

1

2

bn，所以当n＞1+logq

1

2a1

时，数列{b_n}为减数列．
设N=[1+logq

1

2a1

]+1，M=max{b₁，b₂，…b_N-1，b_N}，易得b_n≤M对于n∈N^*成立，所以b_n+1=a_nb_n≤Ma_n．
所以当n≥2时，有q(q2+bn2)=an+

bn2

an

≤an+

M2an-12

an

=(q+

M2

q

)an-1．
则当n＞6+logq

1

a1(q2+M2)

时，有q3＜q(q2+bn2)≤(q+

M2

q

)an-1＜q3，矛盾．
综上所述，{a_n}不可能为等比数列．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．