Question

已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=

an+bn

a 2 n +b 2 n

，n∈N^﹡，
（Ⅰ）设b_n+1=1+

bn

an

，n∈N^﹡，求证：
（1）

bn+1

an+1

=

1+( bn an )2

；
（2）数列{(

bn

an

)2}是等差数列，并求出其公差；
（Ⅱ）设bn+1=

2

•

bn

an

，n∈N^﹡，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）通过b_n+1=1+

bn

an

，化简a_n+1=

an+bn

a 2 n +b 2 n

，推出

bn+1

an+1

的比值，得到恒等式即可．
（2）通过（1）的关系式，利用两边平方，即可证明所证明的数列是等差数列，求出公差．
（Ⅱ）利用反证法证明等比数列{a_n}的公比为q=1，推出a₁的范围，利用bn=

a1±a12 2-a12

a12-1

．推出b₁、b₂、b₃中至少有两项相同，得到a₁=

2

．然后求出b₁的值．

解答：解：（Ⅰ）（1）∵b_n+1=1+

bn

an

，∴a_n+1=

an+bn

a 2 n +b 2 n

=

bn+1

1+( bn an )2

．
∴

bn+1

an+1

=

1+( bn an )2

．------（3分）
（2）因为

bn+1

an+1

=

1+( bn an )2

，所以(

bn+1

an+1

)2-(

bn

an

)2=1 （n∈N^*）．
∴数列{(

bn

an

)2}是以1 为公差的等差数列．------（2分）
（Ⅱ）∵a_n＞0，b_n＞0，∴

(an+bn)2

2

≤an2+bn2＜(an+bn)2．．
∴1＜a_n+1=

an+bn

a 2 n +b 2 n

≤

2

．（﹡）
设等比数列{a_n}的公比为q，由a_n＞0知q＞0，下面用反证法证明q=1
若q＞1则a₁=

a2

q

＜a1≤

2

，∴当n＞log_q

2

a1

时，a_n+1=a₁qⁿ＞

2

，与（﹡）矛盾．
若0＜q＜1则a1=

a2

q

＞a2＞1，∴当n＞log_q

1

a1

时，a_n+1=a₁qⁿ＜1，与（﹡）矛盾．
∴综上所述，q=1．∴a_n=a₁，n∈N^*，∴1＜a1≤

2

．
又∵b_n+1=

2

×

bn

an

=

2

×

bn

a1

=b_n，n∈N^*，∴{b_n}是公比是

2

a1

的等比数列．
若a₁≠

2

，则

2

a1

＞1，于是b₁＜b₂＜b₃．
又由a_n+1=

an+bn

a 2 n +b 2 n

即a₁=

a1+bn

a 2 1 +b 2 n

，得bn=

a1±a12 2-a12

a12-1

．
∴b₁、b₂、b₃中至少有两项相同，与b₁＜b₂＜b₃矛盾．∴a₁=

2

．
∴b_n=

2 ±( 2 )2• 2-( 2 )2

( 2 )2-1

=

2

．
∴a₁=b₂=

2

．------（5分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．