Question

已知α为第二象限的角，cos

α

2

+sin

α

2

=-

7

2

，求下列各式的值：
（1）sinα；
（2）sin(α+

π

6

)；
（3）cos

α

2

-sin

α

2

．

Answer 1

（1）将已知式平方，得
cos²

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

+sin²

α

2

=

7

4

，即1+sinα=

7

4

，因此sinα=

3

4

．…（4分）
（2）∵α为第二象限角，得
cosα=-

1-sin2α

=-

7

4

，
所以sin(α+

π

6

)=sinαcos

π

6

+cosαsin

π

6

=

3

4

×

3

2

-

7

4

×

1

2

=

3 3 - 7

8

．…（8分）
（3）∵（cos

α

2

-sin

α

2

）²+（cos

α

2

+sin

α

2

）²=2，cos

α

2

+sin

α

2

=-

7

2

∴（cos

α

2

-sin

α

2

）²=2-

7

4

=

1

4

又∵α为第二象限角，cosα=cos2

α

2

-sin2

α

2

=（cos

α

2

-sin

α

2

）（cos

α

2

+sin

α

2

）＜0
∴cos

α

2

-sin

α

2

=

1

2

．（舍负）…（12分）