Question

设函数f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0且a≠1）．
（1）设F（x）=f（x）-g（x），判断F（x）的奇偶性并证明；
（2）若关于x的方程ag(-x2+x+1)=af(m)-x有两个不等实根，求实数m的范围；
（3）若a＞1且在x∈[0，1]时，f(m-2x)＞

1

2

g(x)恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）求函数F（x）的定义域，即是使得函数f（x），g（x）都有意义的条件，利用函数奇偶函数的定义检验F（-x）与F（x）的关系可判断函数的奇偶性；
（2）原方程有两个不等实根即-x²+x+2=1-m-x有两个不等实根，其中

-1＜x＜2 m＜1

，从而进一步转化为x²-2x-1-m=0在x∈（-1，2）上有两个不等实根，构造函数h（x）=x²-2x-1-m，可得

h(-1)＞0 h(2)＞0 △=4+4(1+m)＞0

，从而可求实数m的范围；
（3）问题等价于a＞1且x∈[0，1]时 loga(1-m+2x)＞

1

2

loga(1+x)恒成立，所以x∈[0，1]有

1-m+2x＞0① 1-m+2x＞ 1+x ②

恒成立，故可求实数m的范围．

解答：解：（1）F(x)=loga(1-x)-loga(1+x)=loga

1-x

1+x

(a＞0且a≠1)
其中

1-x＞0 1+x＞0

∴x∈（-1，1）
∵F(-x)=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-loga

1-x

1+x

=-F(x)
∴F（x）为奇函数． 
（2）∵函数f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）
∴g(-x2+x+1)=loga(-x2+x+2)，f(m)=loga(1-m)
∵关于x的方程ag(-x2+x+1)=af(m)-x有两个不等实根
∴-x²+x+2=1-m-x有两个不等实根，且

-x2+x+2＞0 1-m＞0

由

-x2+x+2＞0 1-m＞0

可得

-1＜x＜2 m＜1

从而问题可转化为x²-2x-1-m=0在x∈（-1，2）上有两个不等实根．
记h（x）=x²-2x-1-m，对称轴x=1，由

h(-1)＞0 h(2)＞0 △=4+4(1+m)＞0

∴

1+2-1-m＞0 4-4-1-m＞0 4+4+4m＞0

∴-2＜m＜-1
（3）f（m-2x）=log_a（1-m+2x），
即a＞1且x∈[0，1]时 loga(1-m+2x)＞

1

2

loga(1+x)恒成立
∴x∈[0，1]有

1-m+2x＞0① 1-m+2x＞ 1+x ②

恒成立，
由①得m＜1
令

1+x

=t(t∈[1，

2

])
∴由②得2t²-t-1＞m在t∈[1，

2

]时恒成立
记q（t）=2t²-t-1，则q（t）_min＞m，
∵对称轴为t=

1

4

∴q（t）_min=q（1）=0＞m
综上m＜0

点评：本题综合考查了对数函数的定义域的求解，对数的运算性质，函数奇偶性的判断，对数不等式的解法，牵涉的知识比较多，但只要掌握基本知识、基本方法，问题就能迎刃而解．