Question

9．S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a_n＞0，a_n²+a_n=2S_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n²+a_n=2S_n，∴${a}_{n+1}^{2}+{a}_{n+1}$=2S_n+1，
两式子相减得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n+1+a_n，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，
令n=1得${a}_{1}^{2}+{a}_{1}$=2S₁=2a₁，解得a₁=1
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（Ⅱ）∵b_n=$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．