Question

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 函数f(x)对任意的实数m，n有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x＞0时，有f(x)＞1． (1) 求证：f(x)在R上为增函数 (2) 若f(3)＝4，解不等式f(x2＋x－5)＜2． (3) 若不等式f(ax－2)＋f(x－x2)＜2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，∴x2－x1＞0，f(x2－x1)＞1 ∵f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1＞1＋f(x1)－1＝f(x1) ∴f(x2)＞f(x1)∴f(x)在R上为增函数
(2)	∵f(3)＝4∴f(3)＝f(2)＋f(1)－1＝3f(1)－2∴f(1)＝2 又f(x2＋x－5)＜2＝f(1)且f(x)在R上为增函数 ∴x2＋x－5＜1即x2＋x－6＜0∴－3＜x＜2
(3)	令m＝n＝0∴f(0)＝2f(0)－1∴f(0)＝1 ∵f(ax－2)＋f(x－x2)＜0 ∴f(ax－2＋x－x2)－1＜0 ∴f(ax－2＋x－x2)＜1＝f(0) 由此可知ax－2＋x－x2＜0恒成立 ∴恒成立∴ ∴a＜2－1