Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（　　）

• A、f（x）在（0，

  π

  2

  ）单调递增
• B、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）单调递减
• C、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）单调递增
• D、f（x）在（

  π

  2

  ，π）单调递增

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用辅助角公式将函数进行化简，结合函数的周期和奇偶性求出函数的解析式即可得到结论．

解答： 解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=

2

[

2

2

sin（ωx+φ）+

2

2

cos（ωx+φ）]=

2

sin（ωx+φ+

π

4

），
∵函数的最小正周期为2π，
∴T=

2π

ω

=2π，解得ω=1，
即f（x）=

2

sin（x+φ+

π

4

），
∵f（-x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，则φ+

π

4

=

π

2

+kπ，
即φ=

π

4

+kπ，
∵|φ|＜

π

2

，∴当k=0时，φ=

π

4

，
即f（x）=

2

sin（x+

π

4

+

π

4

）=sin（x+

π

2

）=cosx，
则f（x）在（

π

4

，

3π

4

）单调递减，
故选：B

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．