Question

13．已知圆C：（x-1）²+（y+1）²=12，直线l：kx-y+1=0．
（1）求证：对k∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）若直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直线经过定点，判断定点在圆内即可；
（2）当直线l被圆C截得的弦长最小时，定点为圆心在直线上的射影．

解答 （1）证明：直线kx-y+1=0恒过定点A（0，1），且点A（0，1）在圆C：（x-1）²+（y+1）²=12的内部，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
（2）解：若直线l被圆C截得的弦长最小，
则此时满足AC⊥l，
则AC的斜率k=$\frac{1+1}{0-1}$=-2，
则l的斜率k=$\frac{1}{2}$，
即对应的方程为y-1=$\frac{1}{2}$（x-0），
即x-2y+2=0．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，以及直线方程的求解，要求熟练直线和圆相交的等价条件．