Question

11．已知正项等比数列{a_n}满足：a₅-a₄-2a₃=0，若4a₁为a_m，a_n的等比中项，则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 由等比数列的通项公式及等比中项的定义列出方程组，求出q=2，m+n=6，由此利用基本不等式能求出$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值．

解答 解：∵正项等比数列{a_n}满足：a₅-a₄-2a₃=0，4a₁为a_m，a_n的等比中项，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{4}={a}_{1}{q}^{3}+2•{a}_{1}{q}^{2}}\\{16{{a}_{1}}^{2}={a}_{1}{q}^{m-1}•{a}_{1}{q}^{n-1}}\end{array}\right.$，且q＞0，
解得q=2，m+n=6，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）[$\frac{1}{6}（m+n）$]
=$\frac{1}{6}（5+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}）$
≥$\frac{1}{6}$（5+$2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$时取等号，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质及基本不等式的合理运用．