Question

（2012•金华模拟）已知函数f(x)=2cosx•sin(

π

2

+x)+sin2x-cos2x．
（1）求f(

π

8

)的值；
（2）设实数ω＞0，函数y=f（ωx）在[-

π

3

，

π

4

]上单调递增，求ω的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为sin2x+1，由此求得f(

π

8

)的值．
（2）由实数ω＞0，函数y=f（ωx）=sin2ωx+1，由题意可得当x∈[-

π

3

，

π

4

] 时，-

π

2

≤ωx≤

π

2

恒成立，故有-

π

4ω

≤-

π

3

，且

π

4ω

≥

π

4

．由此求得ω的取值范围．

解答：解：（1）函数f(x)=2cosx•sin(

π

2

+x)+sin2x-cos2x=2cos²x+sin2x-cosx=sin2x+1，
∴f(

π

8

)=sin

π

4

+1=

2

2

+1．
（2）∵实数ω＞0，函数y=f（ωx）=sin2ωx+1，由题意可得当x∈[-

π

3

，

π

4

] 时，-

π

2

≤ωx≤

π

2

恒成立，即-

π

4ω

≤x≤

π

4ω

 恒成立．
∴-

π

4ω

≤-

π

3

，且

π

4ω

≥

π

4

．
解得ω≤

3

4

．再由ω＞0 可得 0＜ω≤

3

4

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于中档题．