Question

设F₁、F₂为曲线C₁：+=1的焦点，P是曲线C₂：-y²=1与C₁的一个交点，则△PF₁F₂的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据双曲线和椭圆的定义可得 PF₁+PF₂=2，PF₁-PF₂=2，△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得
cos∠F₁PF₂=，故 sin∠F₁PF₂=，由△PF₁F₂的面积为 •PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂运算
得到结果．
解答：解：由曲线C₁：+=1的方程可得 F₁ （-2，0）、F₂ （2，0），再由椭圆的定义可得
PF₁+PF₂=2． 又因曲线C₂：-y²=1 的焦点和曲线C₁ 的焦点相同，再由双曲线的定义可得
PF₁-PF₂=2．∴PF₁=，PF₂=．
△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得  16=-2（）（）cos∠F₁PF₂ ，
解得 cos∠F₁PF₂=，∴sin∠F₁PF₂=，
△PF₁F₂的面积为 •PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=（ ）（）sin∠F₁PF₂=，
故答案为：．
点评：本题考查双曲线和椭圆的定义和标准方程，以及简单性质的应用，求出 PF₁=，PF₂=，
 sin∠F₁PF₂ 的值，是解题的关键．