Question

（1）当k∈N^*时，求证：(1+

3

)k+(1-

3

)k是正整数；
（2）试证明大于(1+

3

)2n的最小整数能被2ⁿ⁺¹整除（n∈N*）

Answer 1

分析：（1）利用二项式定理对（1+

3

）^k和（1-

3

）^k展开，求出(1+

3

)k+(1-

3

)k的第r+1项可以用C_k^r•[（

3

）^k-r+（-1）^k-r•（

3

）^k-r]表示，对k-r分奇偶讨论，即可证明结论；
（2）根据-1＜1-

3

＜0，求出大于(1+

3

)2n的最小整数为(1+

3

)2n+(1-

3

)2n，然后利用二项式定理展开即可证明结论．

解答：（1）证明：根据二项式定理可得：（1+

3

）^k的展开式的通项为T_r+1=C_k^r•（

3

）^k-r，（1-

3

）^k的展开式的通项为T_r+1=C_k^r•（-1）^k-r•（

3

）^k-r；
则(1+

3

)k+(1-

3

)k的第r+1项可以用C_k^r•[（

3

）^k-r+（-1）^k-r•（

3

）^k-r]表示；
当k-r为奇数时，C_k^r•[（

3

）^k-r+（-1）^k-r•（

3

）^k-r]=0，当k-r为偶数时，C_k^r•[（

3

）^k-r+（-1）^k-r•（

3

）^k-r]=2C_k^r•（

3

）^k-r，是正整数，
因此(1+

3

)k+(1-

3

)k是正整数；
（2）大于(1+

3

)2n的最小整数为(1+

3

)2n+(1-

3

)2n
因为-1＜1-

3

＜0，所以0＜（1-

3

）²ⁿ＜1，
即（1+

3

）²ⁿ加上此小数为一个正整数．因此大于（1+

3

）²ⁿ的最小整数为(1+

3

)2n+(1-

3

)2n．
记a=

3

，则a²=3，由二项式展开，正负相消得
（1+

3

）²ⁿ+（1-

3

）²ⁿ=（1+3+2a）ⁿ+（1+3-2a）ⁿ=2ⁿ[（2+a）ⁿ+（2-a）ⁿ]=2ⁿ⁺¹[2ⁿ+2^n-23•C_n²+…]
因此能被2ⁿ⁺¹整除．

点评：本题是中档题．考查二项式定理的应用，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力．