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【题目】如果函数f(x)=sin(2x+θ),函数f(x)+f'(x)为奇函数,f'(x)是f(x)的导函数,则tanθ=

【答案】-2
【解析】解:∵f(x)=sin(2x+θ),∴f′(x)=2cos(2x+θ), 则f(x)+f'(x)=sin(2x+θ)+2cos(2x+θ),
∵f(x)+f'(x)为奇函数,
∴sin(﹣2x+θ)+2cos(﹣2x+θ)=﹣sin(2x+θ)﹣2cos(2x+θ),
即﹣sin(2x﹣θ)+2cos(2x﹣θ)=﹣sin(2x+θ)+2cos(2x+θ),
则﹣sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ+2sin2xsinθ
=﹣(sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ﹣sin2xsinθ)
=﹣sin2xcosθ﹣cos2xsinθ﹣2cos2xcosθ+2sin2xsinθ,
即2cos2xsinθ=﹣4cos2xcosθ,
即sinθ=﹣2cosθ,
即tanθ=﹣2,
所以答案是:﹣2
【考点精析】通过灵活运用基本求导法则和正弦函数的奇偶性,掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导;正弦函数为奇函数即可以解答此题.

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