Question

从正反面分别写有0和1，2和3，4和5，6和7的4张卡片中任取3张，再将每张卡片的某一面朝上，依次排成一排，其中2，3，4，5，7 不能倒置，0和1倒置后仍是0和1，6可倒置为9．
（1）用三张卡片组成三位整数，所有可能得到的三位整数有几个？
（2）用三张卡片组成数列，求三个数字依次成一个等差数列的概率．

Answer 1

分析：先记有0和1的为A卡，写有6和7的为B卡，另两张为C卡；
（1）根据题意，分有无A卡2种情况讨论，由分步计数原理计算每种情况下的三位数的个数，再由分类计数原理将两种情况下的三位数的个数相加，即可得答案；
（2）由数列的性质分析可得B卡正反两面有3种用法，其余的卡都有2种用法，分有无B卡2种情况讨论，由分步计数原理计算可得数列的个数，将其相加可得全部数列的情况数目，列举可得三个数依次等差数列的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

解答：解：记写有0和1的为A卡，写有6和7的为B卡，另两张为C卡；
（1）根据题意，三位数的首位不能为0，分2种情况讨论：
①无A卡时，一张B卡和两张C卡可以作任意的排列，并且每一张卡的正反两面都可用，其中B卡的两个面有3种用法，故可组成

A

3 3

×3×2×2=72个三位数； 
②有A卡时，再分有无B卡讨论：
（Ⅰ）有B卡的，A卡在百位时：有C₂¹A₂²×3×2=24个，A卡不在百位时，有C₂¹C₂¹A₂²×3×2×2=96个，
（Ⅱ）无B卡的，A卡在百位时：有A₂²×2×2=8个，A卡不在百位时，有C₂¹A₂²×2×2×2=32个，
故共有N=72+24+96+8+32=232个三位整数．
（2）数列的首项可以为0，
故A卡、B卡、C卡都不受排列位置的限制，但B卡正反两面有3种用法，其余的卡都有2种用法．
任选3张卡排成一列，有B卡时可得C₃²×A₃³×3×2×2=216个，
无B卡时有A₃³×2×2×2=48个，共有216+48=264个，
其中三个数依次等差数列的情况有0，2，4和4，2，0；0，3，6和6，3，0；1，3，5和5，3，1；1，4，7和7，4，1；2，4，6和6，4，2；3，5，7和7，5，3；1，5，9和9，5，1；共14个；
故所求的概率为P=

14

264

=

7

132

．

点评：本题考查排列、组合的应用，分步、分类计数原理的应用以及等可能事件的概率计算；对于（1）、（2）要注意三位数与排列的区别．