Question

如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程1g（x+y）=1gx+1gy，那么正确的选项是（　　）

A．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且xy≥4

B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且xy≤4

C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且xy≤4

D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且xy≥4

Answer 1

分析：由方程1g（x+y）=1gx+1gy，可得x+y=xy，化为y=

x

x-1

=1+

1

x-1

（x＞1，y＞1），利用反比例函数可得y=f（x）=1+

1

x-1

在（1，+∞）上单调递减，再利用基本不等式可得xy=x+y≥2

xy

，得到xy≥4．即可．

解答：解：由方程1g（x+y）=1gx+1gy，可得x+y=xy，化为y=

x

x-1

=1+

1

x-1

（x＞1，y＞1），
∴y=f（x）=1+

1

x-1

在（1，+∞）上单调递减，且xy=x+y≥2

xy

，得到xy≥4．
故选A．

点评：本题考查了对数的运算、函数的单调性、基本不等式等基础知识与基本方法，属于中档题．