Question

12．如图，在四凌锥中P-ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD，再由PA⊥AD，能证明PD⊥平面PAB．
（Ⅱ）取AD的中点O，连结PO，CO，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD．
所以AB⊥PD．
又因为PA⊥AD，所以PD⊥平面PAB．…5分
解：（Ⅱ）取AD的中点O，连结PO，CO，
因为PA=PD，所以PO⊥AD．
又因为PO?平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
因为CO?平面ABCD，所以PO⊥CO．
因为AC=CD，所以CO⊥AD．
如图建立空间直角坐标系．由题意得：
A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）．
$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），
设平面的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x-z=0}\end{array}\right.$，令z=2，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，2）．
设线PB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线与平面所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…12分

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．