Question

3．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最下正周期为π，且点P（$\frac{π}{6}$，2）是该函数图象的一个人最高点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，求函数y=f（x）的值域；
（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）个单位，得到函数y=g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是单调增函数，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由x的范围可求2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，利用正弦函数的性质可求其值域．
（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x-2θ+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得$\left\{\begin{array}{l}{kπ+θ-\frac{π}{3}≤0}\\{kπ+θ+\frac{π}{6}≥\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，k∈Z，结合范围0＜θ＜$\frac{π}{2}$，可求θ的取值范围．

解答 解：（1）∵由题意可得，A=2，$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2．
∵再根据函数的图象经过点M（$\frac{π}{6}$，2），可得2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得ω=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，1]．
（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）个单位，
得到函数y=g（x）=2sin[2（x-θ）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-2θ+$\frac{π}{6}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-2θ+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+θ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+θ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ-$\frac{π}{3}$，kπ+θ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
∵函数y=g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是单调增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{kπ+θ-\frac{π}{3}≤0}\\{kπ+θ+\frac{π}{6}≥\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{θ≤\frac{π}{3}-kπ}\\{θ≥\frac{π}{12}-kπ}\end{array}\right.$，k∈Z，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，θ∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性和值域，考查计算能力，常考题型，题目新颖，属于基本知识的考查．