Question

15．在平面直角坐标系xOy中，直线l：ax+by+c=0被圆x²+y²=16截得的弦的中点为M，且满足a+2b-c=0，当|OM|取得最大值时，直线l的方程是x+2y+5=0．

Answer 1

分析 根据直线和圆相交的性质，利用条件消去参数a，b，c，得到点M的轨迹方程，当|OM|取得最大值时，求出M的坐标，即可求出直线l的方程．

解答 解：若直线l：ax+by+c=0被圆C：x²+y²=16截得的弦的中点为M，则满足OM⊥l，
设M（x，y），则$\frac{y}{x}=\frac{b}{a}$，即a=$\frac{bx}{y}$
∵a+2b-c=0，
∴c=a+2b=$\frac{bx}{y}$+32，
将a，c代入直线ax+by+c=0得$\frac{bx}{y}$x+by+$\frac{bx}{y}$+2b=0，
整理得x²+y²+x+2y=0，
故点M的轨迹方程为x²+y²+x+2y=0，即（x+0.5）²+（y+1）²=1.25，
由直线y=2x与圆x²+y²+x+2y=0联立，可得x=0或-1，
当|OM|取得最大值时，M（-1，-2），∴直线l的方程为y+2=-$\frac{1}{2}$（x+1），即x+2y+5=0．
故答案为：x+2y+5=0．

点评 本题主要考查与圆有关的轨迹问题．利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．