Question

4．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：

停靠时间	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6
轮船数量	12	12	17	20	15	13	8	3

（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；
（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平均数的定义即可求出，
（Ⅱ）设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率．

解答 解：（Ⅰ）a=$\frac{1}{100}$（2.5×12+3×12+3.5×17+4×20+4.5×15+5×13+5.5×8+6×3）=4，
（Ⅱ）设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则 $\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜24}\\{0＜y＜24}\end{array}\right.$
若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y-x|＜4，
所以必须等待的概率为P=1-$\frac{2{0}^{2}}{2{4}^{2}}$=$\frac{11}{36}$，
答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为$\frac{11}{36}$．

点评 本题主要考查建模、解模能力；解答关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率．