Question

现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为

3

4

，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为

2

3

，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（I）求该射手恰好命中两次的概率；
（II）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．

Answer 1

分析：（I）设“该射手恰好命中两次”为事件A，分为两种情况：一种是两次射向甲靶都命中而向乙靶射击一次没有命中，其概率为

3

4

×

3

4

×(1-

2

3

)；另一种是两次射向甲靶只有命中一次而向乙靶射击一次命中，其概率为

C

1 2

×

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

，相加即可得出．
（II）由题意可得：X=0，1，2，3，4．P（X=0）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；P（X=1）两次射向甲靶只有命中一次而向乙靶射击一次没有命中；P（X=2）一种是两次射向甲靶都命中而向乙靶射击一次没有命中，另一种是两次射向甲靶都没有命中而向乙靶射击一次命中；P（X=3）是两次射向甲靶只有命中一次而向乙靶射击一次命中；P（X=4）表示3次射击都命中．分别利用相互独立事件和互斥事件的概率计算公式计算出概率即可．

解答：解：（I）设“该射手恰好命中两次”为事件A，则P（A）=

3

4

×

3

4

×(1-

2

3

)+

C

1 2

×

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

=

21

48

=

7

16

．
（II）由题意可得：X=0，1，2，3，4．
P（X=0）=(1-

3

4

)2×(1-

2

3

)=

1

48

；
P（X=1）=

C

1 2

×

3

4

×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)=

6

48

；
P（X=2）=(

3

4

)2×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)2×

2

3

=

11

48

；
P（X=3）=

C

1 2

×

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

=

12

48

；
P（X=4）=(

3

4

)2×

2

3

=

18

48

．
∴E（X）=0×

1

48

+1×

6

48

+2×

11

48

+3×

12

48

+4×

18

48

=

17

6

．

点评：本题考查了相互独立事件和互斥事件的概率计算公式、分类讨论的思想方法等基础知识与基本方法，属于难题．