Question

(本小题满分14分)

已知抛物线、椭圆、双曲线都经过点M(1，2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。

（Ⅰ）求这三条曲线方程；

（Ⅱ）若定点P(3，0)，A为抛物线上任意一点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）

解析:

（Ⅰ）设抛物线的方程为

∵M(1，2)在抛物线上，∴ 即p＝2

∴抛物线方程为，焦点为(1，0)                     ………3分

∵椭圆、双曲线与共焦点，且对称轴为坐标轴，分别设其方程为

，

∵椭圆、双曲线都经过点M(1，2)

∴解得

∴椭圆与双曲线的方程分别为、

                                                      ………7分

（Ⅱ）设为抛物线上任意一点，则

又P(3，0)，以AP为直径的圆的半径

圆心B为AP中点，∴B，设直线l：x＝n，则圆心B到l的距离d=

则弦长u＝２＝

        ＝

当n＝２时，u为定值，∴满足题意的直线l存在，其方程为x＝２